Rozdělení sázky

prev home next

Zopakujme si zadání:
Dva stejně dobří hráči A (modrý) a B (červený) hrají spolu sérii partií (třeba šachu); nepřipouští se nerozhodně. Hráči hrají o milion, který získá ten, kdo první vyhraje celkem 6 partií. Hra musela být přerušena v okamžiku, kdy hráč A dosáhl 5 vítězství a hráč B 3 vítězství. Ve hře se již nemůže a nebude pokračovat. Určete, v jakém poměru si mají hráči celkovou částku spravedlivě rozdělit.

Označme si následující jevy (výjimečně z technických důvodů označíme jevy malými písmeny)
jev a – vyhraje hráč A, jev b – vyhraje hráč B
Podle toho, co jsme uvedli výše, víme, že jevům můžeme přiřadit číslo šance výhry, pravděpodobnost 1/2. Oba jsou stejně dobří, tedy P(a) = P(b) = 1/2.

obr 1 Pierre de Fermat (1601–1665) ve svém řešení vycházel z toho, že v dané chvíli již zbývá odehrát nejvýše tři partie, aby jeden z hráčů dosáhl šesti vítězství. Počítejme tedy s tím, že se budou ještě tři partie hrát, třebaže hra může skončit i dříve.
Existuje právě osm možností, jak tři partie odehrát:

  aaa    aba    abb    aab
  bba    baa    bab    bbb

Pravděpodobnost všech těchto jevů je, podle Cardanových pravidel o násobení, stejná:
P(aaa) = P(a)•P(a)•P(a) = 1/8, atd.

Závěr: Pouze poslední jev by přinesl celkové vítězství hráči B, proto spravedlivé dělení je opravdu 7:1.

Předchozí řešení úlohy z roku 1556 (viz výše), chybovalo v tom, že špatně ohodnotilo vytipované možnosti číslem. Pokládalo je za stejně pravděpodobné, přiřadilo jim stejnou hodnotu, jenže dvakrát nejde o elementární jevy dále nedělitelné, ale o jevy složené.

podle Cardanova pravidla o sčítání vypočteme jednotlivé pravděpodobnosti
vyhraje hráč A     (A) = aaa ∪ aba ∪ aab ∪ abb
P((A)) = P(aaa) + P(aba) + P(aab) + P(abb) = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2

vyhraje hráč B a následující vyhraje A     (BA) = baa ∪ bab
P((BA)) = P(baa) + P(bab) = 1/8 + 1/8 = 1/4

2x vyhraje B a nakonec opět A     (BBA) = bba
P((BBA)) = 1/8

3x vyhraje B     (BBB) = bbb
P((BBB)) = 1/8

Když těmito čísly ohodnotíme jednotlivé větve grafu, dojdeme opět k poměru 7:1.


top