Podívejme se na jeden přírodní úkaz, který zkoumá jak fyzika tak chemie. Rakouský fyzik a matematik Paul Ehrenfest (1880 - 1933) se zabýval základy statistické fyziky, kam též patří difuse. Ze školy si jistě pamatujete, že jde o tento jev: Látky přecházejí samovolně (brownovým pohybem) z prostředí, kde je jejich koncentrace vyšší směrem tam, kde byla dosud jejich koncentrace nižší.

Uvažujme difusi jednosložkového plynu a vakua. Mějme dvě nádoby A a B. V nádobě A je N molekul plynu (připomeňme si, že počet částic v jednotkovém látkovém množství (v 1 molu) vyjadřuje Avogadrova konstanta N_A = 6,022•10²³), v nádobě B je vakuum. V čase t = 0 uvolníme přepážku mezi nádobami a sledujeme, jak molekuly přecházejí z A do B. Matematický model, který popisuje dostatečně přesně chování molekul v plné obecnosti, je pro nás technicky nedostupný.

Pokud však přistoupíme na podstatné zjednodušení, můžeme přece jen určité chování systému studovat. Zjednodušený model difuse jako první definoval a studoval právě Paul Ehrenfest. Tento model je znám jako problém muže s vosami.

Problém muže s vosami

Muž sedí v obývacím pokoji a čte si. Kromě něho jsou však v pokoji i tři vosy. Vosy jsou hosty nejen nezvanými, ale také velice nepříjemnými. Muž čte a vosy ho neustále ruší. Jejich společnost je muži velmi nepříjemná, pokládá je za tvory příliš vlezlé, a proto se jich chce zbavit. Protože je na druhé straně pokládá za užitečné z biologického hlediska, nechce je zabít. Tedy vstane, otevře dveře do kuchyně a čeká. Až všechny vosy budou v kuchyni, pak muž zavře dveře a opět usedne ke knížce.

Je zjištěno, že dveřmi průměrně proletí jedna vosa za jednu minutu z pokoje do kuchyně nebo z kuchyně do pokoje. Jaká je pravděpodobnost, že muž nebude muset čekat déle než 10 minut, než se vos zbaví?

Ehrenfestův model si musíme matematizovat, abychom mohli vytvořit vhodný náhodný pokus.
Nejprve si vosy očíslujeme; dáme jim na záda startovní čísla 1, 2, 3. Uspořádaná trojice číslic z nul a jedniček nám bude popisovat okamžitý stav v obývacím pokoji. Například trojice 101 znamená, že vosy se startovním číslem 1 a 3 se nalézají v pokoji, zatímco vosa s číslem 2 je v kuchyni. Počáteční stav je vyjádřen trojicí 111 (tři vosy v pokoji) a kýžený konečný stav trojici 000 (tři vosy v kuchyni).

Každou minutu se stav změní (jedna vosa prolétne dveřmi) a v našem značení se to projeví změnou jedné číslice v druhou. Například stav 101 může přejít do jednoho ze stavů 001, 111, 100; jiná možnost není. Všechny tři přechody jsou přitom stejně pravděpodobné, a který z nich nastane, je řízeno náhodou.

Všech trojic z číslic 0, 1 je přesně osm {111, 110, 101, 011, 100, 010, 001, 000}, tedy stejně jako je vrcholů krychle. Z každého stavu je možný přechod pouze do tří jiných stavů, stejně jako je hran vystupujících z každého vrcholu krychle.
Pohyb po hranách krychle dobře popisuje události v soustavě obývák – kuchyně.

Máme tedy drátěný model krychle, kde vrcholy znázorňují stavy a hrany znázorňují možné přechody. Teď ještě stanovit, jak se má náhodně přecházet z jednoho vrcholu na druhý. To by mohl zařídit nějaký malý brouček.

Startovní bod je ve vrcholu 111 a cílový bod ve vrcholu 000, do kterého umístíme prudký jed. Pokusného brouka vypustíme v bodě 111 a sledujeme jeho cestování po krychli; jeho průchody jednotlivými vrcholy znázorňují změnu stavu (počty) vos v pokoji a změny těchto stavů. V souladu s časem průletu vos dveřmi předpokládejme, že brouk přejde hranu krychle vždy za jednu minutu. Procházka brouka po krychli představuje jednu možnou posloupnost stavů od tři vosy v pokoji (111) do stavu všechny vosy v kuchyni (000).

Původní otázka zněla: Jaká je pravděpodobnost, že muž nebude muset čekat déle než 10 minut, než se vos zbaví? Odpověď na tuto otázku je stejná jako na otázku: Jaká je pravděpodobnost, že doba života brouka nebude delší než 10 minut?

Problém náhodné procházky po krychli

Pro snadnější sledování pohybu brouka si překresleme krychli do roviny tak, aby se hrany neprotínali. Brouka vypustíme a jak se bude pohybovat necháme na náhodě. V každém vrcholu začínají tři hrany, brouk má tři možnosti jak pokračovat. Protože každá volba (hrana) musí mít stejnou pravděpodobnost výběru, budeme pokračovat podle tohoto předpisu: Hodíme jednou kostkou a padne-li 1 nebo 4, brouk se posune po hraně, která změní levé číslo; padne-li 2 nebo 5, brouk se posune po hraně změny prostředního čísla; a při hodu 3 a 6 se změní pravé číslo.

Posloupnost ok 242315613 nám tedy představuje posloupnost stavů 111 -> 101 -> 001 -> 011 -> 010 -> 110 -> 100 -> 101 -> 001 -> 000. Tato procházka je znázorněna na obrázku červenou lomenou čarou. Snadno spočítáme, že v tomto konkrétním případě realizace náhodného pokusu žil brouk 9 minut a stejně tak dlouho čekal muž, než všechny vosy přeletěly do kuchyně.

Snadno nahlédneme, že nejkratší procházka po krychli má délku 3. Dále je nabíledni, že procházka nemůže mít délku rovnu sudému číslu; každý úkrok stranou musí být kompenzován stejně dlouhým návratem (= sudé číslo). Možné jsou tedy délky 3, 5, 7,... shora omezení není.

Bylo provedeno 2000 simulací (házením kostkou se vytvářely posloupnosti, viz výše, ve školním semináři) a dosažené výsledky jsou uvedeny v tabulce (sudé doby života mají četnosti nula, proto nejsou uvedeny).

Nyní jsme schopni odpovědět na otázku: Jaká je pravděpodobnost, že doba života brouka nebude delší než 10 minut? Resp. na otázku: Jaká je pravděpodobnost, že muž nebude muset čekat déle než 10 minut, než se vos zbaví?

Příznivé jevy otázce jsou: doba života brouka je 3 nebo 5 nebo 7 nebo 9 minut. Jsou to jevy vzájemně neslučitelné, a tak podle součtového pravidla platí