O švýcarském matematikovi a fyzikovi Jacobu Bernoullim (1655 - 1705) jsme se zmínili v naší malé exkurzi do historie. V oblasti teorie pravděpodobnosti objevil a zformuloval tzv. Binomické rozdělení (někdy též Bernoulliho schéma).

Předpokládejme n nezávislých pokusů. Hledáme pravděpodobnost p(x) toho, že jev A nastane právě x krát – tedy opačný jev A’ nastává právě (n–x)krát. Pravděpodobnost nastání jevu A při jednom pokusu označíme p = P(A) a proto P(A’) = 1 – p = q.

Jeden takový výsledek je znázorněn touto posloupností AAA...AAA'A'...A'; nejprve nastal jev A x krát a poté opačný jev A' (n-x)krát. Pravděpodobnost takové posloupnosti jevů je

Jak vidno, dílčí výsledeky nezávisí na pořadí jevů A a A’, proto všechny takové n členné posloupnosti obsahující právě x krát jev A a (n-x)krát jev opačný A’, mají stejnou pravděpodobnost.
Takových posloupností je tolik, kolik je možností vybrat x míst pro jev A mezi n místy celé posloupnosti, což je (ⁿ_x). Dohromady dostáváme:

Binomickém rozdělení

Mějme n nezávislých pokusů, ve kterých sledujeme výskyt jevu A, který nastane s pravděpodobností p∈<0; 1> a nenastane s pravděpodobností q = 1 - p (nastane jev opačný A’). Pravděpodobnost, že v n pokuse nastane jev A právě x krát je rovna a mluvíme o Bernoulliovu schematu resp. o Binomickém rozdělení, značí se Bi(n,p).

Jak je známo se střední školy, kombinační čísla (nx) lze znázornit Pascalovým trojúhelníkem.
Pravdou je, že uspořádání známé jako Pascalův trojúhelník, nacházíme už o 150 let před Pascalem v knize „Arithmetica integra“ Michaela Stifela (Norimberk 1544); a lze jej nalézt již v perské a čínské literatuře 13. a počátku 14. století.

Kdo zná binomickou větu z matematiky, zná i použití tohoto číselného uspořádání. Například podle 5. řádku píšeme:

Pro binomické rozdělení stačí dosadit za a = p a za b = q = (1-p)