Kolik je třeba hodů jednou (dvěma) kostkami, aby šance, že padne aspoň jedna (dvě) šestka, byla nadpoloviční?
To je dotaz Chevaliera de Méré příteli a matematikovi Blaise Pascalovi. Otázku jsme již zodpověděli na stránce věnované Chevalierovi de Méré. Nyní si otázku trochu pozměníme a podíváme se na ni z hlediska binomického rozdělení.

Co má větší pravděpodobnost, že padne aspoň jedna 6 při hodu šesti kostkami najednou nebo že padnou aspoň dvě 6 při hodu dvanácti kostkami?

Vzpomeňte si, házet n kostkami najednou má stejné výsledky, jako házet jednou kostkou n krát. Házení jednou kostkou se řídí binomickým rozdělením. Má n stejných nezávislých pokusů, u kterých sledujeme jev A (padne šestka) s pravděpodobností p = (1/6) a nenastane, tj. nastane jev opačný A’ – nepadne šestka) s pravděpodobností q = (1 – p) = (5/6). Sledujme kolikrát v n pokusech jev A nastal.
Už víme, že pravděpodobnost jevu A v opakovaných hodech má binomické rozdělení ~ B(n,1/6), kde p(x) = (ⁿ_x)(1/6)^x(5/6)^n-x. Proto stačí dosadit již jen hodnotu za parametr n a hledané pravděpodobnosti vyčíslit.

Jaká je pravděpodobnost, že padne aspoň jedna 6 při hodu šesti kostkami? Tj. Jaká je pravděpodobnost, že při šesti hodech jednou kostkou padne aspoň jednou 6? Sledodvaný pokus se řídí binomickým rozdělením B(6,1/6). Ještě si uvědomme, že slovíčko „aspoň“ napovídá, že je rozumné přejít k opačnému jevu: místo „aspoň jednou padne šestka“ použít „ani jednou šestka nepadne“, které odečteme od 1.

Analogicky vypočítáme:
Jaká je pravděpodobnost, že padnou aspoň dvě 6 při hodu dvanácti kostkami? Tj. Jaká je pravděpodobnost, že při dvanácti hodech jednou kostkou padnou aspoň dvě 6? Sledodvaný pokus se řídí binomickým rozdělením B(12,1/6). Opět místo „aspoň dvě šestky“ přejdeme na „buď žádná nebo jedna šestka“

Odpověď na začátku položenou otázku zní: Je pravděpodobnější, že padne aspoň jedna 6 při hodu šesti kostkami, než že padnou aspoň dvě 6 při hodu 12 kostkami.