Typickými příklady na Poissonovo rozdělení jsou:

• počet předmětů nalezených a odevzdaných denně v obchodním domě,
• počet telefonních hovorů v určitém časovém úseku,
• počet úrazů na dělníka za rok,
• atp.

Poissonovo rozdělení

Uvažujme jev A a sledujme počty výskytů v čase. Pokud je splněno: 1. že jev může nastat v kterémkoli časovém úseku, 2. že počet výskytů jevu během časového intervalu závisí jen na délce tohoto intervalu, 3. a že pravděpodobnost toho, že jev nastoupí více než jednou v intervalu délky t, se blíží k nule rychleji než t, pak pravděpodobnostní rozdělení počtu výskytů jevu v určitém časovém intervalu se nazývá Poissonovo rozdělení a má hustotu pravděpodobnosti Poissonovo rozdělení značíme P(λ); jeho střední hodnota i rozptyl je rovna konstantě λ.

Zapamatujme si, že konstanta λ je střední hodnota počtu výskytů jevu za jednotku času. Dále platí, že výskyt sledovaného jevu záleží pouze na délce intervalu t a nikoli na jeho počátku ani na tom, kolikrát jev nastoupil před jeho počátkem. Tomu se říká, že Poissonovo rozdělení nemá paměť (totéž platí o geometrickém rozdělení).

Vzorec pro Poissonovo rozdělení se s úspěchem používá pro snazší výpočet místo binomického vzorce za následujícího předpokladu.
Jde-li o náhodnou veličinu, která má binomické rozdělení Bi(n,p) s velkým n (n > 30), lze toto aproximovat:

• při p > 0,1 normálním rozdělením N(μ = np, σ² = npq),
• při p < 0,1 Poissonovým rozdělením P(λ = np).

Skvělou (a slavnou) ukázku shody Poissonova rozdělení a reality podal německý ekonom a statistik Ladislaus Josephovich Bortkiewicz (1868 - 1931), který v roce 1898 vydal knihu Právo malých množství, v níž mj. zveřejnil svá pozorování za dobu 20 let o počtu vojáků zabitých kopnutím koněm za rok, a to v 10 vojenských sborech kavalérie Německé armády.

Zjistil, že u 109 ukazatelů „armádní sbor/rok“ nebyl žádný smrtelný úraz, 65 krát byl jeden mrtvý, 22 krát dva mrtví, 3 krát tři mrtví, jedenkrát dokonce čtyři. Celkový počet smrtelných případů byl 122 = (65 + 44 + 9 + 4), „očekávaná střední hodnota“ smrtelných případů na rok a armádní sbor činí tedy 122/(20•10) = 0,61. Vyjdeme-li z této očekávané hodnoty, můžeme porovnat, zda tyto nehody mohou být přibližně správně zachyceny Poissonovým rozdělením.

Pravděpodobnost, že nějaká událost nastane v časovém intervalu právě x-krát, je určena vzorcem

Očekávanou hodnotu λ známe: 0,61. Hledejme tedy nejdříve pravděpodobnost, že jev (smrt po úderu koňským kopytem) nastane nulakrát (x = 0). Dostaneme:

Tedy více než polovina případů je zaplněna nulovými jevy. Podle Poissonova rozdělení by měl jev „žádný mrtvý úderem kopyta“ nastat v 543 krát z 1000 ukazatelů „armádní sbor/rok“, respektive ve 109 krát z 200 pozorování (vydělíme pěti).

Stejně spočítáme další pravděpodobnosti:

Porovnejme nyní skutečné hodnoty a čísla vypočítaná podle Poissonova rozdělení (viz výše). Jen stěží si lze představit dokonalejší důkaz, že Poissonovo rozděleni výstižně zobrazuje stav věci.