Situace, kdy máme tři různé definice pravděpodobnosti (klasická, geometrická, statistická), které se zároveň doplňují, ale které přitom v sobě mají i něco navíc oproti ostatním, není zrovna optimální. Z pohledu matematika, nakonec i ostatních uživatelů, je daleko nejlepší, jsou-li formulována přesná pravidla, jak s pravděpodobnostmi počítat, podobně jako je to například v algebře (známá to úprava výrazů).

Takový systém pravidel vyžaduje radu moudrých, která se dohodne na základních pravdách, kterým se říká axiomy (pochází z řeckého slova axióma = to, co se uznává) a jsou to tvrzení, která se předem (a priori) pokládají za platné a nedokazují se (dohodli jsme se, že všichni víme a nepochybujeme). Zároveň se požaduje, aby axiomů bylo co nejméně a nevedly ke sporům.

V roce 1933 takový systém pravidel uveřejnil (na obrázku) sovětský matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov (1903–1987), který je pokládán za zakladatele moderní teorie pravdě-podobnosti. Maďarský matematik Alfréd Rényi (1921–1970) později přispěl výrazným doplněním.

Volně řečeno: Máme univerzální množinu Ω a soubor jejích podmnožin – náhodných jevů. Každému náhodnému jevu přísluší nezáporné číslo (axiom I), které nazýváme pravděpodobností. Pravděpodobnost celé univerzální množiny je jedna (axiom II). Pro libovolný soubor náhodných jevů, kde všechny dvojice jsou vzájemně disjunktní, vzájemně neslučitelné, platí, že jejich pravděpodobnosti se dají jednoduše sčítat (axiom III - obdoba Cardanova zákona sčítání).

Pojmy: elementární jev, jev, a základní pravidla (axiomy) jsou věcí dohody, nedokazují se, jen vysvětlují každému dalšímu zájemci. To jsme udělali na předchozích stránkách dokonce v historickém vývoji. Další pravidla počítání s pravděpodobnostmi je nutné striktně dokázat. Na následující stránce dokážeme z axiomů platnost důležitých pravidel jako ukázku, jak se to v teorii dělá.
Pojmy: doplňkový jev, jev jistý, jev nemožný se již definují, což jsme též již udělali.