Úplná pravděpodobnost

 prev home next

Již několikrát jsme museli příslušný jev, kterého pravděpodobnost jsme počítali, rozdělit na dílčí části. Rozklad jsme prováděli podle situace různě. Nyní použijeme k výpočtu pravděpodobnosti jevu B úplný rozklad jevu jistého Ω.

obr 22 Pro názornost začneme s rozkladem na dvě části.
Jev A a opačný jev A’ tvoří rozklad jistého jevu; mají totiž tu vlastnost, že jsou neslučitelné (disjunktní) a jejich sjednocení dává jistý jev.

A ∩ A’ = ∅,   A ∪A’ = Ω

Libovolný jev B lze tedy rozepsat na sjednocení dvou průniků (s částmi rozkladu)

B = (B∩A) ∪ (B∩A’)

a pravděpodobnost jevu B lze tedy napsat takto:

P(B) = P(B∩A) + P(B∩A’) = P(A)•P(B|A) + P(A’)•P(B|A’)

obr 23 Rozklad na čtyři po dvou disjunktní jevy představují jevy A1, A2, A3, A4, jejichž sjednocení je jev jistý.
Snadno odvodíme, že pravděpodobnost libovolného jevu se dá zapsat vzorcem:

P(B) = P(A1)•P(B|A1) + P(A2)•P(B|A2) + P(A3)•P(B|A3) + P(A4)•P(B|A4)
Věta o úplné pravděpodobnosti

Obecně mějme A1, A2, … An po dvou disjunktní jevy a jejich sjednocení je jev jistý. Pak pro libovolný jev B platí:

P(B) = P(A1)•P(B|A1) + P(A2)•P(B|A2) + … + P(An)•P(B|An)

top