menu předchozí

Matouš a Katka na výletě

 následující

JEFF:
Abychom byli v dalších hovorech schopni popisovat rozhodovací situace pomocí matematických modelů, navrhuji, abychom si nyní zavedli několik základních pojmů.

JIRKA:
Souhlasím.

JEFF:
Popišme si nejprve jednodušší situaci. Matouš vede turistický oddíl chlapců a Katka oddíl děvčat.MatKat Na víkend plánují společné táboření v přírodní oblasti zvané „Lapkův ráj“. Lapkovým rájem procházejí čtyři turistické cesty ze západu na východ a čtyři z jihu na sever. Oddíly se dohodly, že budou společně tábořit na některé křižovatce těchto cest. Jádrem konfliktu je, která křižovatka to bude. Děvčata nechtějí žádné velké nadmořské výšky, protože se obávají větší noční zimy, a pak kdo by se tak vysoko plahočil. Chlapci naopak výšky milují, chtějí spát co nejvýše. Nadmořské výšky v dané oblasti prezentuje tabulka (údaje jsou ve stovkách metrů):

tab03

Cesty v obou směrech jsme si pro jednoduchost označili čísly 1, 2, 3, 4. Chlapci si vylosovali směr západ – východ a děvčata poputují ve směru jih – sever. Nyní se oba oddíly dohadují, kterou cestu si vybrat, aby dosáhly, co nejlepšího výsledku. Chlapci, aby si zaručili vysokou polohu tábora, děvčata zase chtějí nocovat v nížině.

JIRKA:
Nadmořské výšky křižovatek vlastně tvoří odměny, kterých může být dosaženo.

JEFF:
Správně. Tabulka nadmořských výšek představuje hodnoty užitkové funkce. Máme tady konflikt zájmů dvou hráčů. Prvním hráčem je oddíl chlapců vedený Matoušem. Druhým hráčem, protivníkem, je oddíl děvčat vedený Katkou. Všimněte si, že je zde mnohem více osob, ale hráči jen dva. Hráč je ten, který rozhoduje. Někdy se také mluví místo o hráčích o rozhodovatelích. Proto zde máme dva hráče: Matouše a Katku. V prvním příkladu byly také dva hráči: nevěsta a příroda. Přírodu pokládáme za hráče, který není logický, není racionální, nedbá na výši svého výnosu. A ve druhém příkladu hráči jste vy a proti vám pojišťovna. Každý hráč má na výběr několik plánů postupu, aspoň dva. Kdyby měl jen jeden, pak není co řešit. Těmto plánům se říká strategie. Zdůrazňuji, že musí jít o plány úplné.
Matouš a Katka mají oba své čtyři strategie, které se shodují v číslech cest. Nevěsta má dvě strategie: svatba v sále a svatba v přírodě. Vy též máte dvě strategie: pojistit se a nepojistit se.
Podle počtu strategií rozeznáváme hry konečné a nekonečné. U konečných her obvykle užitkovou funkci představuje tabulka – výplatní matice.

tab04

Hra Matouše a Katky má tu vlastnost, že výhra Katky je vždy rovna výhře Matouše s opačným znaménkem. V součtu je to vždy rovno nule. Takovým hrám říkáme hry s nulovým součtem. Proto je u nich zbytečné vytvářet dvojmatici, stačí výplatní matice prvního hráče (vlevo a řádky), kam připíšeme druhého hráče (nahoru a sloupce) – viz tabulka vpravo.

JIRKA:
Rozhodovací hra má aspoň dva hráče – rozhodovatele. Každý hráč má aspoň dvě strategie a může jich mít dokonce nekonečně mnoho. A někdy, když se poštěstí, můžeme jejich výhry zapsat do výplatní matice, což je to nejjednodušší, co nás mohlo potkat. Říkám to správně?

JEFF:
Velmi dobře.

JIRKA:
Jak si mají Matouš a Katka vybrat tu svou optimální strategii?

JEFF:
Jsou to hráči inteligentní, prozíraví a racionální. Proto si nebudou malovat vzdušné zámky. Například Matouš se nechytí na vějičku cesty číslo 1, kde ho láká krásná 700 metrová hora. Jeho chytrá protihráčka jistě bude volit jinou cestu, takovou, která se 700 metrové hoře zdaleka vyhne. tab05 A mohla by to pro něj být dokonce katastrofa (chlapci by mu to hodně dlouho vyčítali), kdyby táboření připadlo jen na 100 metrovou křižovatku. Proto si v každém řádku po straně napíše minimální výšku, která se na cestě nalézá. Z posledního sloupce vidí, že nejlepší vyhlídky, z jeho hlediska, dává třetí cesta. Zaručuje mu, že tábořiště bude při nejhorším ve výšce 300 metrů. A jestli si toho Katka nevšimne, bude na tom třeba i lépe.
Katka ví, že než snít o hlubokých údolích, přestože by v nich ráda tábořila, na jejích cestách 3 a 4, je lepší cesta číslo 2, která jí zaručuje, že výše než ve 300 metrech spát určitě její oddíl nebude.
Hle, nastala vzácná shoda. Matoušovi zaručí jeho volba třetí cesty táboření ve výšce 300 metrů nad mořem. Katce její volba zaručuje, že nebude spát výše než v 300 metrech. Tomu se říká sedlový bod.

JIRKA:
Myslím, že jsem toho pro dnešek načerpal hodně. Než se dnes rozejdeme, požádal bych vás ještě, jak hry dělíme. Už jste se zmínil o hrách konečných a nekonečných.

JEFF:
Klasifikace her se provádí podle několika různých kritérií.

JIRKA:
Vidím, že je toho hodně.

JEFF:
Ano. Něco si k jednotlivým případům ještě řekneme. Příště bych se detailněji podíval na konečné hry o dvou hráčích s nulovým součtem, tedy maticové hry.

začátek