Vypořádání zůstatku

JIRKA:
Minule jsme se bavili o problémech párů s námluvami a výchovou potomků. Já vím, že u zvířat nepadá do úvahy nějaké dědění nebo rozvodové vypořádání. Ale u lidí je to běžná věc. Má na to teorie her nějaké spravedlivé řešení?

JEFF:
Co je to spravedlivé? Víte, co je to Talmud?

JIRKA:
Židovské učení pokud vím. Co to má společného s teorií her?

JEFF:
Kupodivu hodně. Trochu si to upřesněme. Malý výlet do historie.
Rabi Jehuda ha-Nasi z galilejského města Uša kolem roku 200 shrnul a sepsal do písemné formy souhrn výroků a pouček židovských učenců z předchozích období až do 2. století, které do té doby byly předávané pouze ústně. Tedy Mišna, je záznam ústní tradice judaismu a je jedním ze základů židovské kultury, práva a náboženství. Samotné slovo mišna se vykládá jako učit se, studovat, opakovat. Z toho se dá vyvodit, že jde o opakování ústní Tóry. Rozsáhlé komentáře Mišny obsahující diskuse a polemiky dalšími generacemi učenců, jejich žáků a škol, vznikla Gemara neboli doplnění. Mišna a její komentáře Gemara společně tvoří Talmud.

JIRKA:
Někde jsem četl, že Talmud obsahuje kolem pěti miliónů slov.

JEFF:
To je možné. Ony Gemary totiž vznikly dvě. Jedna na izraelské půdě a aduhá v Babylonii. Podle místa vzniku Gemary se rozlišuje Talmud jeruzalémský a palestinský. Ten druhý byl dokončen v polovině čtvrtého století. Svatá země se v té době ocitla pod vládou křesťanských byzantských císařů a hlavní centrum židovského života se přesouvalo do Babylonie. Proto se jeruzalémský Talmud nezachoval v takové úplnosti jako babylonský. Talmud babylonský vznikal v příznivějších podmínkách, neboť židovské obce v Babylonii byly obdařeny značnou autonomií a těšily se plným právům.
Mišna se člení do šesti oddílů, z nichž pro naše potřeby je nejzajímavější oddíl třetí zvaný Nasim (Ženy) tvořený sedmi traktáty. Druhý traktát se nazývá K’tubot (Svatební úpisy) a řeší kromě jiného otázky spojené se svatební smlouvou včetně obnosu, kterým se muž ženě zavazuje pro případ rozvodu nebo své smrti. V oddílu Nasim lze nalézt i řešení těchto problémů.

JIRKA:
Jaká jsou ta řešení?

JEFF:
Cituji z Mišna, čtvrtý oddíl, druhý traktát, dělení oděvů (Contested garment).
„Dva u soudu drží oděv. Jeden říká: „celý je můj!“ a druhý říká: „má je polovina!“ Potom první dostane tři čtvrtiny a druhý jednu čtvrtinu. Tomu se říká CG princip.

JIRKA:
To je dost kuriózní.

JEFF:
Vysvětlení je následující: druhý přiznává prvnímu jednu polovinu. Ta je tedy jasná a jedná se jen o zbývající polovinu, která je pak rozdělena rovným dílem.

JIRKA:
Jestli dobře rozumím, tak ten, který sobecky chce všechno, je proti poctivci, který uznává i právo druhého, ve značné výhodě.

JEFF:
Nesmí nás mást, že se jedná o nějaký oděv. Podívejme se na věc v penězích. Dotyčný obchodník zkrachoval a v jeho majetku zbylo 100 šekelů. Ozvali se dva věřitelé, jeden nárokuje 100 šekelů a druhý 50 šekelů. Kdyby měl obchodník 150 a více šekelů, hravě by své věřitele uspokojil, a ani by nemusel zkrachovat. Jenže zbyla menší částka a jde o to, jak spravedlivě odškodnit oba věřitele.

JIRKA:
Aha. Takže první dostane 75 šekelů a druhý 25 šekelů. Jaká je v tom spravedlnost?

JEFF:
Myslel jsem, že to vidíte sám. Přece oběma chybí do úplného uspokojení stejná částka, 25 šekelů.

JIRKA:
Řekněme, že zbylo 120 šekelů a věřitelé požadují zpět svých 100 šekelů a 50 šekelů. Co na to Talmud?

JEFF:
Vidím, že byste mě rád zkoušel s různým zadáním. Proto vám raději uvedu vzorečky, podle kterých si můžete propočítat variant, co hrdlo ráčí. Označme E částku, která je k dispozici v rámci dědictví či úpadku. Dále d₁ < d₂ nechť označuje velikost věřitelských nároků a částky a₁ a a₂ představují podíl, který věřitel dostane. Je možné napsat jeden složitý vzorec, ale pro nás bude lepší, když si celý problém za podmínky E < D = d₁ + d₂ (nároky jsou vyšší než je částka) rozdělíme na několik dílčích úloh.

(*)   Nejprve případ, kdy E ≤ d₁ < d₂
   =>   a₁ = a₂ = E/2
Malé částky, které nedosahují ani menšího z obou nároků, jsou rozděleny rovným dílem.

(**)   V případě   d₁ < E ≤ d₂
   =>   a₁ = d₁/2,   a₂ = E - d₁/2
Jakmile věřitel s nejmenším nárokem dostane polovinu svého požadavku, každá koruna navíc připadne jen druhému věřiteli.

(***)   Pro případ   d₂ < E < D
   =>   a₁ = (E + d₁ – d₂)/2,   a₂ = (E + d₂ – d₁)/2
Když druhému věřiteli chybí už jen polovina menšího nároku, to je předchozí případ, vrátí se do hry opět první věřitel a každá koruna navíc je rozdělena rovným dílem. Rozdělení částky E za těchto podmínek vede k tomu, že oba věřitelé nejsou uspokojeni o stejnou částku

JIRKA:
Já jsem zadal E = 120, d₁ = 50, d₂ = 100. Jde o třetí případ, takže a₁ = 35,    a₁ = 85 a    Δ = 15.
To odpovídá výsledku získanému teorií her?

JEFF:
Kupodivu ano. V současné teorii kooperativních her vede dnešní matematické řešení ke stejnému výsledku jako filozofické a etické úvahy založené na talmudických principech. Uvedli jsme si řešení pro dva hráče věřitele. Pro n věřitelů říkáme, že řešení je konzistentní, když pro každou dvojici různých věřitelů i ≠ j řešení odpovídá CG principu při dělení částky a_i + a_j. K tomu ještě dodám, že každá bankrotová hra má jediné konzistentní řešení.

JIRKA:
To uvádíte test, jak zjistit, že uhádnuté řešení je konzistentní. Ale jak konzistentní řešení můžeme sestrojit?

JEFF:
Konstrukci konzistentního řešení dobře znázorňuje hydraulický model, který pochází od M. M. Kaminského. Jde o spojené nádoby, kde každá nádoba představuje dlužnou částku; ta je rozdělena na dvě poloviny a spojena zanedbatelnou trubičkou.

Nyní sledujme jak se systém naplňuje vodou.
Uvažujme rostoucí hodnotu částky E. Pro 0 ≤ E ≤ nd₁/2 je konzistentním řešením rovné rozdělení, kdy každý dostane částku E/n. Jakmile první věřitel obdrží d₁/2, přestane se jeho částka zvyšovat a s rostoucí hodnotou E se částka, která je navíc, rozdělí mezi věřitele 2, 3, . . . , n, a to až do okamžiku, kdy druhý obdrží d₂/2. Při dalším zvyšování částky E se pak bude vše, co je navíc, dělit mezi věřitele 3, 4, . . . , n, atd., až každý obdrží právě polovinu svého požadavku.
Pokud je stále co rozdělovat, u věřitele s nejvyšším nárokem pokračujme ve zvyšování až do d_n − (d_n-1/2), tj. až do okamžiku, kdy mu chybí polovina druhého nejvyššího nároku. Při dalším navýšení E se do hry vrátí věřitel n−1 a vše, co je navíc, je rovným dílem rozděleno mezi něj a věřitele n, a to až do okamžiku, kdy oběma chybí d_n-2/2, atd.

JIRKA:
Z obrázku je mi to jasnější. A jak je to s vyrovnáním majetku při rozvodu? Často jsme svědky, že vyrovnání při rozvodu moderních manželství se neliší od válečného tažení.